他利用后来以他命名的级数构造了一个自同构函数，并发现了这个函数作为代数函数的单叶函数的效用,他引入了fuchs群和Klein群，构造了一个更一般的基本域,他早期的主要工作是在1878年建立了自守函数理论,庞加莱的研究涉及数论、代数、几何、拓扑学等多个领域，最重要的工作在函数论方面,1907年，他和克贝给出了一个相互独立的完整证明。
1、亨利·庞加莱的研究方向庞加莱的研究涉及数论、代数、几何、拓扑学等多个领域，最重要的工作在函数论方面。他早期的主要工作是在1878年建立了自守函数理论。他引入了fuchs群和Klein群，构造了一个更一般的基本域。他利用后来以他命名的级数构造了一个自同构函数，并发现了这个函数作为代数函数的单叶函数的效用。1883年，庞加莱提出了广义单值定理。1907年，他和克贝给出了一个相互独立的完整证明。
他也是多复变理论的先驱之一。为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性，庞加莱在1881-1886年发表的四篇论文中，在由微分方程确定的积分曲线上建立了微分方程定性理论，他研究了四种奇点的鞍点节点中心附近的微分方程解的行为。他提出，可以根据解和他为极限环算出的一条特殊闭合曲线之间的关系来判断解的稳定性，1885年，瑞典国王奥斯卡二世设立了N体奖，激起了庞加莱研究天体力学的兴趣。
